ØVING 6 hentet fra [Matson, 1996, s.150]

Definerer følgende variable:

S er kontinuerlig(antagelse) uniformt fordelt over intervallet (0,10)

S ~ U(0,10)

Tetthetsfunksjonen til en uniformt fordelt variabel er[Dougherty, 1991, s.97] eller [Berck,1992,32.11]

Vi har at x = periodens inntekt til servicebedriften

Vi definere videre:

x_A = Agentens virkelige inntekt i perioden

x_P = Prinsipalens virkelige inntekt i perioden

og at

m ^* = E(X) = forventet periodeinntekt til bedriften.

x_A ^* = E[X_A]= Agentens forventede inntekt i perioden

x_P ^* = E[X_P]= Prinsipalens forventede inntekt i perioden

U_A = Agentens nyttefunksjon

U_P = Prinsipalens nyttefunksjon

Fra statistikken vet vi at [Dougherty, 1991,s.112]

Vi vil klargjøre forskjellen på virkelig og forventet inntekt:

Forventet Inntekt: Agenten vet på forhånd hvor mye han vil få betalt, nemlig 40% av E[X]

Virkelig Inntekt: Agenten vet ikke på forhånd hvor stor inntekten vil bli, siden den er bestemt som 42% av virkelig inntekt.

Når Agenten får en prosentsats av forventet inntekt er man ikke utsatt for ikke-kontrollerbar risiko. Dermed er all denne risiko veltet over på Prinsipalen.

Vi skal vise at agentens(A) rasjonelle beslutning er å maksimere uttrykket

A ønsker å maksimere forventet nytte.Dvs

Maks

Forventningsverdien av en konstant er en konstant

Maks

Agenten (A) vil nå maksimere forventet nytte ved å maksimere forventet inntekt

Setter inn tetthetsfunksjonen for S

Deler opp integralet, og setter inn for g(s)

Vi flytter 1/10 på utsiden, og vi har vist det vi skulle.

Vi må da maksimere forventet periodeinntekt til bedriften E(X)

Max

Mulige maksimum finner vi ved å derivere dette uttrykket mhp a, og setter det lik 0

Sjekker om dette er en maksverdi

Siden dette er et maksimumspunkt, vil optimalt valg av a bli

Total forventet inntekt for bedriften blir ved a=5 lik

A skal ha 40% av forventet inntekt

Forventet nytte til A blir da

Forventet inntekt for P vil være total inntekt minus forventet inntekt betalt til A

Prinsipalen vil få en inntekt som er lik bedriftens virkelige inntekt minus 40% av forventet inntekt

Prinsipalens forventede nytte blir da

Virkelig inntekt til A:

Vi må maksimere forventet nytte av 42% av virkelig inntekt

Hvilket skulle vises.

Vi finner dette integralet:

Deriverer dette uttrykket mhp a, setter det lik 0, og får

Ved å prøve endel verdier fant vi at (HP’en er vår beste venn...)

Dette er maksimumsverdien siden den dobbeltderiverte

er negativ

Maksimum nytte for A er (a=4.4721)

Når A får 42% av virkelig inntekt vil P få følgende inntekt

Maksimum nytte for P blir da()

Oppsummering:

Når begge parter er risikoaverse(, og )

Som vi ser får begge parter øket sin egen nytte ved at kontraktsformen er slik at man deler risiko. I kontraktsform 1, får A en fast inntekt (40% av forventet inntekt), mens A i kontraktsform 2, får en større prosentandel av virkelig inntekt, men som innebærer en risiko på . Med de gitte nyttefunksjone er de to ekstra prosentene tilstrekkelig for å kompensere for A’s økte risiko. Samtidig reduseres P’s risiko såpass mye at det oppveier den økte forventede utbetaling til A.

[Berck, 1992] Peter Berck og Knut Sydsæter, Matematisk formelsamling for økonomer, Universitetsforlaget, Oslo 1992

[Dougherty, 1990] Edward R. Dougherty, Probability and statistics for the Engineering, Computing and Physical Science, Prentice Hall, London 1990

[Matson, 1996] Einar Matson, Kompendium fag 92008 Bedriftsøkonomi 3, Institutt for økonomi NTH, Trondheim 1996

visitors since 2001-04-10 - /lf