Formelstatistikk

2.00

Innhold/ 

Sammendrag:

Dette notatet tar for seg endel av fremgangsmåtene for å finne tall tabulert i formelsamlingen til Samseth og Torvaldsen, brukt ved sivilingeniørutdannelsen ved NTNU (tidligere NTH): Hvordan finne kvantilene i Normalfordelingen, tall i Normalfordelingen, Student-t fordelingen og Poissonfordelingen

Skrevet:

Høsten 1994

Av:

Nikolai S. Aasen

Sist endret:

5. august 1996

Av:

Nikolai S. Aasen

Filnavn:

C:\NIKOLAI\NTH\3HOST\STAT2\STATFORM.WP5

Internet:

http://www.stud.ntnu.no/~nsaa/

Rettigheter:

Ingen, men kommenter gjerne hvor stoffet er hentet
 

Send meg gjerne kommentarer/forbedringer/feil

 

email: nsaa@stud.ntnu.no

 

Hvordan finne kvantiler Uα i normalfordelingen med et gitt α-nivε.

 

Kvantilen Uα er definert som

hvor

 

Fra [Dougherty, 1990, Def 3.4, s.87]

der standard normalfordelingen har sannsynlighetstetthet (probability density function, pdf)

Vi splitter opp integralet

[Dougherty, 1990, Theorem 3.4 s.88] sier at f(z) skal være sannsynlighetstetthetsfunksjonen (pdf) til Z, må

siden sannsynlighetstetthetfunksjonen til standard normalfordelingen er symmetrisk om 0 vil arealet på begge sider av 0, være like. Dvs at arealet mellom minus uendelig til 0 = 0.5, og arealet mellom 0 og uendelig = 0.5.

ordner vi litt på dette får vi

 

Setter så inn fZ(z)

Dette integralet kan ikke løses analytisk. En måte å finne Uα på er å sette inn verdier av denne helt til en finner en verdi av Uα som tilfredstiller høyresiden i ligning (1)-(2). Beregningen av integralet kan f.eks gjøres med Simpsons regel(composite) eller Gausian quadrature [Faires, 1993, s.111]. Jeg benyttet selv PC-programmet DERIVE, som har implementer en approksimasjonsmåte.

 

Eksempel på beregning.

 

Vi ønsker å finne Uα når α=0.075000.

 

gjetter først på Uα = 1.4

Vi ser at det første gjettet var for lite. Prøver med Uα = 1.42

Dette var fortsatt for lite.

 

Etter å ha gjettet ca 10 ganger, fant jeg at

Fra dette kan vi si at

med gjeldende antall siffer.

 

På samme måte fant jeg Uα når α=0.01000.

Denne verdien er mer nøyaktig enn den som står i tabellen. [Samseth, s.4, 1986]

 

Kvantiler i normalfordelingen (0,1)

 

α Uα

----------------------

0.5 0

0.3000 0.5245

0.200 0.841

0.1000000 1.2815516

0.075000 1.439532

0.050 1.645

0.010000 2.326348

0.005 2.576

0.00100 3.090

0.00050 3.290

0.00010 3.719

0.00005 3.891

0.00001 4.265

 

Hvordan regne ut tall i Standard normalfordelingen (0,1)

splitter opp

 

Eksempel

 

Vi ønsker å finne PHI(x) når x=1.41

Integralet kan regnes ut på mange måter ved å benytte en eller annen approksimasjonsmåte.

 

Vi kan selfølgelig også finne en verdi som ikke er tabulert

 

Hvordan regne ut tall i student t-fordelingen

splitter opp integralet

Siden student t-fordelingen er symmetrisk, og at

har vi at

ordner

setter inn sannsynlighetstettheten for student t- fordelingen

Gammafunksjonen er definert som [Dougherty, 1990, definition 4.7, s.176]

Spesielt er

Utlendingen finnes i [Høyland, 1994, s.471]

 

Eksempel på beregning

Vi vil finne tα,v når α = 0.019 og v = 11 (Denne verdien står IKKE i tabellen)

Setter først inn v = 11 i (1) og forenkler, slik at det vi kommer frem til kan bukes som en basis for å løse for alle verdier av α for v=11

regner ut gammafunksjonene

setter dette inn i (2)

integrerer

 

Finner så t0.019,11 ved å gjette intelligent på t0.019,11 verdier. Prosedyren er å gjette på verdier til venstre siden over er lik høyre siden over

 

Høyre side = 0.5 - 0.019 = 0.481

 

t0.019,11 Venstre side

______________________________

2.3 0.4789...

2.4 0.4824...

2.35 0.480756...

2.357 0.4809926...

 

Vi har dermed at

På samme måte kan vi finne at

 

Hvordan regne ut Poissonfordelingen

 

Fra [Dougherty, 1990, Theorem 4.5, side 153] har vi at punktsannsynligheten til en poissonfordeling er

 

Da har vi at

 

Eksempel

 

for

har vi at

 

Litteraturliste

 

[Dougherty, 1990] Edward R. Dougherty, Probability and Statistics for the Engineering, Computing and Physical Science, Prentice-Hall inc., Englewood Cliffs 1990

 

[Faires, 1993] J. Douglas Faires og Richard L. Burden, Numerical Methods, PWS Publ. comp, Boston 1993

 

[Høyland, 1994] Arnljot Høyland og Marvin Rausland, System Reliability Theory, Models and Statistical Methods, John Wiley & Sons inc., New York 1994

 

[Samseth, 1986] Jon Samseth og Andreas Thorvaldsen, Statistiske tabeller og formler, Tapir forlag, Trondheim 1986